[6주차 - Day4] ML_basics - Linear Algebra

뗴잉 수학싫어잉

1. 기본표기법(Basic Notation)

m행 n열을 가진 행렬

n개의 원소를 가진 벡터

벡터 x의 i번째 원소들

행렬 A의 i번째 행, j번째 열에 있는 원소들

A의 j번째 열/A의 i번째 행

import numpy as np
x=np.array([1.2,3.4,5.6,7.8])
x.shape
#>>(4,)	1차원 배열
x
#>>array([1.2, 3.4, 5.6, 7.8])
i=2
x[i]
#>>5.6

#차원증가(2차원 배열)
np.expand_dims(x,axis=1).shape
#>>(4,1)
np.expand_dims(x,axis=1)
'''
>>array([[1.2],
         [3.4],
         [5.6],
         [7.8]])
'''

A=np.array([
            [10,20,30],
            [40,50,60]
])
A
'''
>>array([[10, 20, 30],
         [40, 50, 60]])
'''
A.shape
#>>(2,3)
i=0
j=2
A[i,j]
#>>30

#Column Vector
j=1
A[:,j]
#>>array([20, 50])

#Row Vector
i=1
A[i,:]
#>>array([40, 50, 60])

 

2. 행렬의 곱셈(Matrix Multiplication)

1. 벡터*벡터(Vector-Vector Products)

내외적 정의 : https://wikidocs.net/22384

import numpy as np
x=np.array([1,2,3])
y=np.array([4,5,6])
x.dot(y)
#>>32
y.dot(x)
#>>32

x=np.expand_dims(x,axis=1)
y=np.expand_dims(y,axis=0)
x.shape, y.shape
#>>((3,1),(1,3))
np.matmul(x,y)
'''
>>array([[ 4,  5,  6],
         [ 8, 10, 12],
         [12, 15, 18]])
'''

외적이 유용한 경우

아래 행렬 A는 모든 열들이 동일한 벡터 x를 가지고 있음 외적을 이용하면 간편하게 나타낼 수 있다

#column vector
x=np.expand_dims(np.array([1,2,3]),axis=1)
x
'''
>>array([[1],
         [2],
         [3]])
'''
ones=np.ones([1,4]) #ones()원소가 모두 1인 행렬반환
ones
#>>array([[1., 1., 1., 1.]])
A=np.matmul(x,ones)
A
'''
>>array([[1., 1., 1., 1.],
         [2., 2., 2., 2.],
         [3., 3., 3., 3.]])
'''

2. 행렬*벡터(Matrix-Vector Products)

열벡터를 오른쪽에 곱하고 A가 행의 형태로 표현

A=np.array([
            [1,2,3],
            [4,5,6]
])
A
'''
>>array([[1, 2, 3],
         [4, 5, 6]])
'''
ones=np.ones([3,1])
ones
'''
>>array([[1.],
         [1.],
         [1.]])
'''
np.matmul(A, ones)
'''
>>array([[ 6.],
         [15.]])
'''

열벡터를 오른쪽에 곱하고 A가 열의 형태로 표현

A=np.array([
            [1,0,1],
            [0,1,1]
])
x=np.array([
            [1],
            [2],
            [3]
])
np.matmul(A,x)
'''
>>array([[4],
         [5]])
'''
for i in range(A.shape[1]):
  print('a_'+str(i)+':',A[:,i],'x_'+str(i)+':',x[i],
        'a_'+str(i)+'*x_'+str(i)+':',A[:,i]*x[i])
'''
>>a_0: [1 0] x_0: [1] a_0*x_0: [1 0]
  a_1: [0 1] x_1: [2] a_1*x_1: [0 2]
  a_2: [1 1] x_2: [3] a_2*x_2: [3 3]
'''

행벡터를 왼쪽에 곱하고 A가 열의 형태로 표현

행벡터를 왼쪽에 곱하고 A가 행의 형태로 표현

3. 행렬*행렬(Matrix-Matrix Products)

일련의 벡터*벡터 연산으로 표현하는 경우

1. A가 행으로 B가 열로 표현

2. A가 열로 B가 행으로 표현

일련의 행렬*벡터 연산으로 표현하는 경우

1. B가 열로 표현

2. A가 행으로 표현

3. 중요 연산과 성질들(Operations and Properties)

1. 정방(Square), 삼각(Triangular), 대각(diagonal), 단위(identity) 행렬들

1. 정방행렬(square matrix) : 행과 열의 개수가 동일
2. 삼각행렬(triangualr matrix)
   1. 상삼각행렬(upper triangular matrix) : 정방행렬이며 주 대각선 아래 원소들이 모두 0
   2. 하삼각행렬(lower triangular matrix) : 정방행렬이며 주 대각선 위 원소들이 모두 0
3. 대각행렬(diagonal matrix) : 정방행렬이며 주대각선 제외 모든 원소가 0
4. 단위행렬(identity matrix) : 대각행렬이며 주대각선 원소들이 모두 1 I로 표시

#대각행렬
#diag()를 사용해서 대각행렬 생성가능
np.diag([4,5,6])
'''
>>
array([[4, 0, 0],
       [0, 5, 0],
       [0, 0, 6]])
'''
#diag함수에 행렬을 전달하면 주대각선 값들을 얻을 수 있음
D=np.array([
            [1,2,3],
            [4,5,6],
            [7,8,9]
])
np.diag(D)
'''
>>array([1, 5, 9])
'''

#단위행렬
#eye()를 사용하면 원하는 크기의 단위행렬 생성가능
np.eye(3)
'''
>>
array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])
'''

2. 전치(Transpose)

행렬을 전치하는 것=행렬을 뒤집는 것

다음의 성질들이 성립

#T속성을 사용해서 전치행렬을 구할 수 있음
A=np.array([
            [1,2,3],
            [4,5,6]
])
A.T
'''
>>
array([[1, 4],
       [2, 5],
       [3, 6]])
'''

3. 대칭행렬(Symmetic Matrices)

정방행렬 A가 A의 전치행렬과 동일할 때 대칭행렬이라고 함

정방행렬 A가 -(A의 전치행렬)과 동일할 때 반대칭행렬(anti-symmetric matrices)이라고 함

• 정방행렬*정방행렬의 전치행렬=항상 대칭행렬
• 정방행렬+정방행렬의 전치행렬=대칭
• 정방행렬-정방행렬의 전치행렬=반대칭